Question

设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N=

k(k-1)

2

是k的正整数倍，则称N为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数为

 

并说明理由．

Answer 1

分析：若N是千禧数，则存在正整数m，使得N-

k(k-1)

2

=km，即2N=k（2m+k-1），显然，k与2m+k-1的奇偶性不同，且k＞1，2m+k-1＞1．所以，2N有大于1的奇因子，从而N有大于1的奇因子．反过来，若N有大于1的奇因子，则可设2N=AB，其中A、B的奇偶性不同，且A＜B，则A＞1且N-

A(A-1)

2

=

AB

2

-

A(A-1)

2

=A•

B-A+1

2

．其中

B-A+1

2

为正整数．故N是千禧数．

解答：解：根据分析可得：只有当N有大于1的奇因子时，N是千禧数．
在1，2，…，2000中，只有1，2，2²，…，2¹⁰不是千禧数．
故有千禧数2000-11=1989（个）．
故答案为：1989．

点评：读懂题意通过观察，分析、归纳并发现千禧数的定义，根据推理找出不是千禧数的个数，从而得到千禧数的个数．