Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

       解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，

∴，

解得：，

∴所求抛物线解析式为：y=﹣x²﹣2x+3；

（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a²﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF=﹣a²﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，

∴S_{四边形BOCE}=BF•EF+（OC+EF）•OF，

=（a+3）•（﹣a²﹣2a+3）+（﹣a²﹣2a+6）•（﹣a），

=﹣﹣a+，

=﹣（a+）²+，

∴当a=﹣时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为．

此时，点E坐标为（﹣，）；

（3）∵抛物线y=﹣x²﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，

∴设P（﹣1，m），

∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，

∴PA=PA′，∠APA′=90°，

如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，

∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，

∴∠NA′P=∠NPA，

在△A′NP与△APM中，

，

∴△A′NP≌△PMA，

∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2，

∴A′（m﹣1，m+2），

代入y=﹣x²﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）²﹣2（m﹣1）+3，

解得：m=1，m=﹣2，

∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．