Question

已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：AN=BM；

（2）求证：△CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．

Answer 1

（1）证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，

∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，

即：∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中，

AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．

∴AN=BM．

（2）证明：∵△ACN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB．

又∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MCF=∠ACE．

在△CAE和△CMF中

∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，

∴△CAE≌△CMF（ASA）．

∴CE=CF．

∴△CEF为等腰三角形．

又∵∠ECF=60°，

∴△CEF为等边三角形．

（3）解：如右图，

∵△CMA和△NCB都为等边三角形，

∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，

∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，

∴△CMB≌△CAN，

∴AN=MB，

结论1成立，结论2不成立．