题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+4x+5的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为P，点M是x轴上的动点．
（1）求MA+MB的最小值；
（2）求MP-MC的最大值；
（3）当M在x轴的正半轴（不包含坐标原点）上运动时，以CP、CM为邻边作平行四边形PCMD．PCMD能否为矩形？若能，求M点的坐标；若不能，简要说明理由．
（参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标是 $数学公式$ ）

解：（1）-x²+4x+5=0，
得x₁=-1，x₂=5，
所以A（5，0），B（-1，0），
MA+MB的最小值为AB（或MA+MB≥AB），
即MA+MB的最小值为：MA+MB=AB=6；

（2）由y=-x²+4x+5，
x=0时，y=5，
即C（0，5），
y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
故P（2，9），
作PD⊥y轴，垂足为D，
则PD=2，CD=9-5=4，
∵只有M，CP在一条直线上时，MP-MC的值最大为PC，
∴MP-MC的最大值为： $\text{[math]}$ ；

（3）若PCMD为矩形，
即∠PCM=90°，
则∠DCP+∠MCO=90°，∵∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠CMO=∠DCP，
∵∠COM=∠PDC=90°，
∴△PCD∽△CMO，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得MO=10，
即存在点M（10，0），能使PCMD为矩形．
分析：（1）根据二次函数y=-x²+4x+5的图象交x轴于点A、B，即y=0求出x即可，根据MA+MB的最小值为AB得出即可；
（2）根据已知求出C，P两点坐标，即可得出MP-MC的最大值为PC长度，进而得出即可；
（3）根据若PCMD为矩形，则△PCD∽△CMO，利用相似三角形的性质得出MO的长度，进而得出M点坐标即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用、矩形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，根据图象得出MP-MC的最大值为PC是解题关键．