Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8）．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）由抛物线过A、B、C三点可求出抛物线表达式；

（2）假设存在，设出P点，解出直线CD的解析式，根据点P到CD的距离等于PO可解出P点坐标；

（3）应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．

把C（0，8）代入，得a=﹣1．

∴y=﹣x²+2x+8=﹣（x﹣1）²+9，

顶点D（1，9）；

 

（2）假设满足条件的点P存在．依题意设P（2，t）．

由C（0，8），D（1，9）求得直线CD的解析式为y=x+8，

它与x轴的夹角为45°．

设OB的中垂线交CD于H，则H（2，10）．

则PH=|10﹣t|，点P到CD的距离为．

又．

∴．

平方并整理得：t²+20t﹣92=0，解之得t=﹣10±8．

∴存在满足条件的点P，P的坐标为（2，﹣10±8）．

 

（3）由上求得E（﹣8，0），F（4，12）．

①若抛物线向上平移，可设解析式为y=﹣x²+2x+8+m（m＞0）．

当x=﹣8时，y=﹣72+m．

当x=4时，y=m．

∴﹣72+m≤0或m≤12．

∴0＜m≤72．

②若抛物线向下平移，可设解析式为y=﹣x²+2x+8﹣m（m＞0）．

由，

有﹣x²+x﹣m=0．

∴△=1﹣4m≥0，

∴m≤．

∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．

【点评】此题考查待定系数求抛物线解析式，第二问考查垂直平分线性质，利用距离相等解题，最后一问考抛物线的平移，要注意已知条件和技巧．