题目内容

已知：某函数的自变量x＞0时，其相应的函数值y＞1．
（1）请写出一个满足条件的一次函数的解析式；
（2）当函数的解析式为y=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m时，求m的取值范围；
（3）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，点O为坐标原点．
①当直线l与（2）中的抛物线只有一个公共点时，求n的取值范围；
②当直线l与（2）中的抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数n，使得△AOB的面积为定值？如果存在，求出n的值；如果不存在，说明理由．

分析：（1）只要y=kx+b中只要k＞0则y随x的增大而增大，因而只要b≥1即可满足条件；
（2）当m=-4时，是一个常数函数，当m≠-4时，首先表示出二次函数的顶点坐标，根据y＞0，可以得到抛物线开口向上，且顶点的纵坐标大于1，即可求得m的范围；
（3）①直线l与（2）的抛物线只有一个公共点，则顶点的纵坐标是n，即可得到m、n的关系，根据m的范围即可求得n的范围；
②把y=n代入抛物线的解析式，对于任意的m的值，得到的式子恒成立，据此即可求得n的值，则根据A、B的坐标的关系即可作判断．

解答：解：（1）y=x+2（答案不唯一）；

（2）当m=-4时，y=9；
当m≠-4时，y=（m+4）x²-2（m+4）+5-m的顶点坐标是：（1，-2m+1），
根据题意得：

m＞-4

-2m+1＞1

，
解得：-4＜m＜0．
综上所述，m的范围是：-4＜m＜0；

（3）①∵直线l与（2）的抛物线只有一个公共点，
∴n=-2m+1
∵-4＜m＜0，
∴n的范围是：1＜n＜9；
②结论：存在实数n，使得△AOB的面积为定值．
理由：n=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m，
整理，得：（x²-2x-1）m+（4x²-8x+5-n）=0，
∵对于任意的m的值，上式恒成立，
∴

x2-2x-1=0

4x2-8x+5-n=0

，
解得：n=9．
∴当n=9时，对于任意的m的值，二次函数y=（m+4）x²-2（m+4）x+5-m的图象都通过点（1-

，9）和点（1+

，9），即△AOB的底AB=2

，高是9，因此面积是定值．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点，还涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．