Question

8．如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P，CP交⊙O于点D，若AC=3，则△APC的面积为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OA，作AH⊥PC于H，如图，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=120°，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠OAC=∠OCA=30°，再利用切线的性质得∠OAP=90°，则∠CAP=120°，所以∠P=30°，利用等腰三角形的性质得PH=CH，然后计算出AH和CH，最后利用三角形面积公式计算．

解答 解：连接OA，作AH⊥PC于H，如图，则∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°
∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠CAP=120°，
∴∠P=30°，
∴△PAC为等腰三角形，
∵PH⊥PC，
∴PH=CH，
在Rt△ACH中，AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
CH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∴△APC的面积=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{3}$•$\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．