Question

20．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，AE=3，AF=4，∠EAF=60°，则BC边上的高是$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 延长AF，BC交于M，连接AC，作MN⊥AE于N，AH⊥BC于H．首先证明△FAD≌△FMC，推出AF=FM=4，AM=8，由∠EAF=60°，推出MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=4$\sqrt{3}$，AN=$\frac{1}{2}$AM=4，EN=AN-AE=1，推出ME=$\sqrt{M{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7，根据S_△AEM=$\frac{1}{2}$•AE•MN=$\frac{1}{2}$ME•AH计算即可．

解答 解：延长AF，BC交于M，连接AC，作MN⊥AE于N，AH⊥BC于H．
在?ABCD中，∵AD∥CB，
∴∠D=∠MCF，
∵F分别是CD的中点，
∴DF=CF，
在△FAD和△FMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠FMC}\\{∠D=∠MCF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△FMC，
∴AF=FM=4，AM=8，
∵∠EAF=60°，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=4$\sqrt{3}$，AN=$\frac{1}{2}$AM=4，EN=AN-AE=1，
∴ME=$\sqrt{M{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7，
∵S_△AEM=$\frac{1}{2}$•AE•MN=$\frac{1}{2}$ME•AH，
∴AH=$\frac{AE•MN}{ME}$=$\frac{3×4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．
∴BC边上的高为$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．
故答案为$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、直角三角形30度角性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．