Question

9．已知AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°．
（1）当AD=2，求BC的长度；
（2）若BC=4，求AD的长度．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到∠ADB=∠ADC=90．在Rt△ACD中，根据tanC=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得CD=2$\sqrt{3}$，在Rt△ABD中，根据tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=tan45°=1，求得BD=2，于是得到BC=BD+CD=2$\sqrt{3}+2$；
（2）根据已知条件得到∠ADB=∠ADC=90．在Rt△ACD中，根据tanC=$\frac{AD}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得CD=$\sqrt{3}$AD，在Rt△ABD中，根据tanB=$\frac{AD}{BD}$=tan45°=1，求得BD=AD，于是得到BC=BD+CD=$\sqrt{3}$AD+AD=4，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90．
在Rt△ACD中，
∵tanC=$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，
∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=tan45°=1，
∴BD=2，
∴BC=BD+CD=2$\sqrt{3}+2$，
即BC的长为2$\sqrt{3}$+2；

（2））∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90．
在Rt△ACD中，
∵tanC=$\frac{AD}{CD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$AD，
在Rt△ABD中，
∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=tan45°=1，
∴BD=AD，
∴BC=BD+CD=$\sqrt{3}$AD+AD=4，
∴AD=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度．