Question

8．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E，

（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
解：①结论：CD=BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，（$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$）
∴△ACD≌△CBE，（AAS）
∴CD=BE．
②结论：AD=BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；
（2）结论：DE-BE=AD，只要证明△ACD≌△CBE即可解决问题；

解答 解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，（ $\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$）
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴CD=BE．
②结论：AD=BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．
故答案为：∠CBE，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，AAS，AD=CE．

（2）不成立，结论：DE-BE=AD．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE-BE=DE-DC=CE=AD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题．