Question

15．如图，在?ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，GH过点O分别与AB、CD交于点G、H，试说明：
（1）AG=CH；
（2）GH、EF互相平分．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到∠BAC=∠ACD，AO=CO，证出△AOG≌△COH，根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）由平行四边形的性质得到对边平行，得到内错角相等，根据三角形全等，得到边相等，角相等，再由邻补角得到内错角相等，得到两线平行，然后根据平行四边形的性质和判定得到结论．

解答 证明：（1）在?ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，AO=CO，
在△AOG与△COH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠DCO}\\{AO=CO}\\{∠AOG=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△COH，
∴AG=CH；

（2）在?ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠GAE=∠HCF，
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE=EF，
即AE=CF，
在△AGE与△CHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CH}\\{∠GAE=∠HCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△CHF，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEO=∠HFO，
∴EG∥FH；
∴四边形GFHE是平行四边形，
∴GH、EF互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，注意数形结合，分清平行四边形的性质和判定．