Question

9．如图，已知动点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴、y轴于点P、Q，当QE：DP=1：4时，图中的阴影部分的面积等于5．

Answer 1

分析 作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到$\frac{EG}{PF}=\frac{QE}{DP}=\frac{1}{4}$，设EG=t，则PF=4t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．

解答 解：如图，作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，

∴△QEG∽△DPF，
∴$\frac{EG}{PF}=\frac{QE}{DP}=\frac{1}{4}$，
设EG=t，则PF=4t，
∴A（t，$\frac{4}{t}$），
∵AC=AE，AD=AB，
∴AE=t，AD=$\frac{4}{t}$，DF=$\frac{4}{t}$，PF=4t，
∵△ADE∽△FPD，
∴AE：DF=AD：PF，即t：$\frac{4}{t}$=$\frac{4}{t}$：4t，即t²=2，
图中阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×t×t+$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{t}$×$\frac{4}{t}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及到从反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，也考查了相似三角形的判定与性质．