Question

10．如图，⊙O₁（R）与⊙O₂（r）外切于点A，BC是外公切线．求证：
（1）$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{R}{r}$；
（2）AB=2R$\sqrt{\frac{r}{R+r}}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，作O₁E⊥AB于E，O₂F⊥AC于F，连接BO₁，CO₂，由垂径定理得到BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$AC，∠O₁BA=∠DAB，根据相似三角形的性质得到AB²=2AD•R，同理可得，AC²=2AD•r，于是得到结论；
（2）如图2，作两圆的内公切线交BC于D，连接BO₁，CO₂，过O₂作O₂E⊥BO₁于E，则BC=O₂E，根据勾股定理得到BC=O₂E=$\sqrt{（r+R）^{2}+（R-r）^{2}}$=2$\sqrt{Rr}$，根据切线的性质得到AD=BD=CD，推出△ABC是直角三角形，由勾股定理得到BC²=AC²+AB²，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，作O₁E⊥AB于E，O₂F⊥AC于F，连接BO₁，CO₂，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$AC，∠O₁BA=∠DAB，
∴△BDA∽△O₁EB，
∴BA：O₁B=DA：EB，即BA：R=DA：$\frac{1}{2}$AB，
∴AB²=2AD•R，
同理可得，AC²=2AD•r，
∴$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{R}{r}$；

（2）如图2，作两圆的内公切线交BC于D，连接BO₁，CO₂，过O₂作O₂E⊥BO₁于E，
则BC=O₂E，
∴BC=O₂E=$\sqrt{（r+R）^{2}+（R-r）^{2}}$=2$\sqrt{Rr}$，
∵⊙O₁（R）与⊙O₂（r）外切于点A，BC是外公切线，
∴AD=BD=CD，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC²=AC²+AB²，
∵$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{R}{r}$，
∴AC²=$\frac{A{B}^{2}•r}{R}$，
∴$\frac{A{B}^{2}•r}{R}$+AB²=4Rr，
∴AB=2R$\sqrt{\frac{r}{R+r}}$．

点评 本题考查了圆与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．