Question

【题目】已知直线a：y＝2x+4分别与x、y轴交于点A、C．将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b，直线b交直线AD：y＝x+2于点E．

（1）若点Q为直线x轴上一动点，是否存在点Q，使△QDE的周长最小，若存在，求△QDE周长的最小值及点Q的坐标：

（2）已知点M是第一象限直线a上的任意一点，过点M作直线c⊥x轴，交直线b于点N，H为直线AD上任意一点，是否存在点M，使得△MNH成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标．

Answer 1

【答案】（1）存在，Q（，0），∴△DEQ的周长的最小值为5；（2）存在，满足条件的点H的坐标为（12，14）或（，）．

【解析】

（1）如图1中，存在．首先确定点D，点E的坐标，作点D关于x轴的对称点D′，连接ED′交x轴于Q，连接DQ，此时△DEQ的周长最小．

（2）如图2中，存在．当点N与E（5，7）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x+2于H，此时△MNH是等腰直角三角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形.

解：（1）存在．

理由：∵直线y＝2x+4分别与x、y轴交于点A、C，

令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），C（0，4），

∵直线y＝2x+4竖直向下平移7个单位后得到直线b，

∴直线b的解析式为y＝2x﹣3，

∵直线y＝x+2交x轴于A，交y轴于D，

令x＝0，得到y＝2，

∴D（0，2），

由，解得，

∴E（5，7），

如图1中，作点D关于x轴的对称点D′，连接ED′交x轴于Q，连接DQ，此时△DEQ的周长最小．

∵D′（0，﹣2），E（5，7），

∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，

∴Q（，0），

，，

∴△DEQ的周长的最小值＝DE+DQ+EQ＝DE+QD′+QE＝DE+ED′＝5；

（2）如图2中，存在．

理由：当点N与E（5，7）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x+2于H，此时△MNH是等腰直角三角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形，

∵M（5，14），MH∥x轴，

∴H（12，14），

∵E（5，7），EH′＝HH′，

∴H′（，）．

综上所述，满足条件的点H的坐标为（12，14）或（，）．