题目内容
（2013•福田区一模）如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．（1）则D点的坐标是 （
5
5
，4
4
），圆的半径为5
5
；（2）sin∠ACB=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
y=
x2-
x+4
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
y=
x2-
x+4
；| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．
分析：（1）连接DC，则DC⊥y轴，过点D作DE⊥AB于点E，则根据垂径定理可得AE=BE=3，连接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圆的半径，也可得出点D的坐标；
（2）根据S△ABC=
AC×BCsin∠ACB=
AB×CO，可得出sin∠ACB，利用待定系数法可求出经过C、A、B三点的抛物线的解析式．
（3）因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理证明∠DAF=90°即可．
（4）设存在点N，过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，求出直线BC的解析式，设点N坐标（a，
a2-
a+4），则可得点P的坐标为（a，-
a+4），从而根据S△BCN=S△BPN+S△PCN，表示出△BCN的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N的坐标．
（2）根据S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理证明∠DAF=90°即可．
（4）设存在点N，过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，求出直线BC的解析式，设点N坐标（a，
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：（1）解：连接DC，则DC⊥y轴，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD=
=
=5，
故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；
（2）解：在Rt△AOC中，AC=
=
=2
，
在Rt△BOC中，BC=
=
=5
，
∵S△ABC=
AC×BCsin∠ACB=
AB×CO，
∴sin∠ACB=
=
；
设经过点A、B、C三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
将三点坐标代入可得：
，
解得：
，
故经过C、A、B三点的抛物线的解析式为：y=
x2-
x+4．
（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，
抛物线顶点坐标：F（5，-
），DF=4+
=
，AF=
=
，
∵DA2+AF2=52+（
）2=
=（
）2=DF2，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圆D．
（4）解：存在点N，使△CBN面积最大．
根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=-
x+4，
设N点坐标（a，
a2-
a+4），过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，
可得P点坐标为（a，-
a+4），
则NP=-
a+4-（
a2-
a+4）=-
a2+2a
故S△BCN=S△BPN+S△PCN=
×PN×OH+
×PN×BH=
PN×BO=
×8×（-
a2+2a）=16-（a-4）2
当a=4时，S△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．
过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，
∵AB=6，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD=
| DE2+AE2 |
| 42+32 |
故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；
（2）解：在Rt△AOC中，AC=
| OC2+OA2 |
| 22+42 |
| 5 |
在Rt△BOC中，BC=
| OC2+OB2 |
| 42+82 |
| 5 |
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴sin∠ACB=
| 24 | ||||
2
|
| 3 |
| 5 |
设经过点A、B、C三点的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，
将三点坐标代入可得：
|
解得：
|
故经过C、A、B三点的抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，
抛物线顶点坐标：F（5，-
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
32+(
|
| 15 |
| 4 |
∵DA2+AF2=52+（
| 15 |
| 4 |
| 625 |
| 16 |
| 25 |
| 4 |
∴∠DAF=90°
所以AF切于圆D．
（4）解：存在点N，使△CBN面积最大．
根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=-
| 1 |
| 2 |
设N点坐标（a，
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
可得P点坐标为（a，-
| 1 |
| 2 |
则NP=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
故S△BCN=S△BPN+S△PCN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
当a=4时，S△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．
点评：本题考查了二次函数及圆的综合，涉及了垂径定理、抛物线求二次函数解析式、切线的判定与性质，综合考察的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，关键还是基础知识的掌握，要能将所学知识融会贯通，第四问解法不止一种，同学们可以积极探索其他解法．
练习册系列答案
相关题目
（2013•福田区一模）如图，已知双曲线