Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD满足，CD∥AB，且A、B在x轴上，点D（0，6），若tan∠DAO=2，AB：AO=1：1．
（1）A点坐标为（

 

），B点坐标为（

 

）；
（2）求过A、B、D三点的抛物线方程；
（3）若（2）中抛物线过点C，求C点坐标；
（4）若动点P从点C出发沿C?B?x正方向，同时Q点从点A出发沿A?B?C方向（终点C）运动，且P、Q两点运动速度分别为

5

个单位/秒，1个单位/秒，若设运动时间为x秒，试探索△BPQ的形状，并说明相应x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据D点的坐标，可知OD的长；Rt△OAD中，根据∠DAO的正切值即可求出OA、AB、OB的长．也就求出了A、B的坐标；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）由于CD∥x轴，则D、C关于抛物线的对称轴对称，由（2）的函数解析式即可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出C点坐标；
（4）根据B、C的坐标，易求出BC=3

5

，则Q、P同时到达B点，且用时都是3秒，因此本题要分情况进行讨论：①Q在AB上，P在BC上时；②P在AB延长线上，Q在BC上时；③Q到达终点后．

解答：解：（1）Rt△AOD中，OD=6，tan∠DAO=2，
∴OA=3；
∴AB=OA=3，OB=6；
故A（3，0），B（6，0）；

（2）已知抛物线过A（3，0），B（6，0），D（0，6）；
可设抛物线的解析式为y=a（x-3）（x-6）（a≠0），则有：
-3×（-6）a=6，a=

1

3

；
∴y=

1

3

（x-3）（x-6）=

1

3

x²-3x+6；

（3）由（2）知：抛物线的对称轴为x=

9

2

；
由于CD∥x轴，且C、D都是抛物线上的点，
所以C、D关于抛物线的对称轴对称；
已知D（0，6），
故C（9，6）；

（4）过C作CE⊥x轴于E，则CE=6，OE=9，BE=3；
Rt△BCE中，BE=3，CE=6，
由勾股定理，得：BC=3

5

；
∴P由C到B的时间为3

5

÷

5

=3秒；
Q由A到B的时间为3÷1=3秒；
∴P、Q同时到达B点；
①0≤x＜3时，∠PBQ＞∠CEB=90°；
故此时△BPQ是钝角三角形；
②3＜x≤3

5

时，P在AB延长线上，Q在线段BC上；
此时BP=

5

（t-3），BQ=t-3；
∴BQ：BP=1：

5

；
在Rt△CBE中，cos∠CBE=BE：BC=1：

5

，
即cos∠CBE=BQ：BP；
∴∠BQP=90°，此时△BQP是直角三角形；
③x＞3

5

时，由②知，此时∠BQP＞90°，
故此时△BQP是钝角三角形；
综上所述，当0≤x＜3或x＞3

5

时，△BPQ是钝角三角形；
当＜x≤3

5

时，△BQP是直角三角形．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到：二次函数解析式的确定、抛物线的对称性、解直角三角形的应用等知识．