Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=2

2

≠BC，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据ASA可判定①△BEG≌△AEC，用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．

解答：解：根据BE=AE，∠GBE=∠CAE，∠BEG=∠CEA可判定①△BEG≌△AEC；
用反证法证明②∠GAC≠∠GCA，假设∠GAC=∠GCA，则有△AGC为等腰三角形，F为AC的中点，又BF⊥AC，可证得AB=BC，与题设不符；
由①知△BEG≌△AEC 所以GE=CE 连接ED、四边形ABED为平行四边形，
∵∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，
∴∠GED=∠CED=45°，
∴△GED≌△CED，
∴DG=DC；
④设AG为X，则易求出GE=EC=2-X 因此，S_△AGC=S_AEC-S_GEC=-

x2

2

+x=-

1

2

（x²-2x）
=-

1

2

（x²-2x+1-1）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，当X取1时，面积最大，所以AG等于1，所以G是AE中点，
故G为AE中点时，GF最长，故此时△AGC的面积有最大值．
故正确的个数有3个．
故选C．

点评：本题考查了梯形，全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，难度较大，注意这些知识的熟练掌握与灵活运用是关键．