Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,二次函数的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值，再利用相似三角形的判定和性质求解即可．

解答：解：∵点A（-1，0）在抛物线y=

1

2

x²+bx-2上，
∴

1

2

×（-1）²+b×（-1）-2=0，
∴b=-

3

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴顶点D的坐标为（

3

2

，-

25

8

），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小． 
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴

OM

EM

=

OC′

ED

，
即

m

3 2 -m

=

2

25 8

，
∴m=

24

41

．
故答案为：

24

41

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．