Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，在轴上，把矩形沿对角线所在的直线对折，点恰好落在反比例函数的图象上点处，与轴交于点，延长交轴于点，点刚好是的中点.已知的坐标为．

（1）求反比例函数的函数表达式；

（2）若是反比例函数图象上的一点，点在轴上，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_________.

Answer 1

【答案】（1）；（2），，（，0）．

【解析】

(1)证得BD是CF的垂直平分线，求得，作DG⊥BF于G，求得点D的坐标为 ，从而求得反比例函数的解析式；

(2)分3种情形，分别画出图形即可解决问题．

(1) ∵四边形ABOC是矩形，

∴AB=OC，AC=OB，，

根据对折的性质知，，

∴，，AB=DB，

又∵D是CF的中点，

∴BD是CF的垂直平分线，

∴BC=BF，，

∴，

∵，

∴，

∵点B的坐标为 ，

∴，

在中，，，，

∴，

过D作DG⊥BF于G，如图，

在中，，，，

∴，，

∴，

∴点D的坐标为 ，

代入反比例函数的解析式得：，

∴反比例函数的解析式；

(2) 如图①、②中，作EQ∥x轴交反比例函数的图象于点Q，

在中， ，，

∴，

∴点E的坐标为 ，

点Q纵坐标与点E纵坐标都是，代入反比例函数的解析式得：

，

解得：，

∴点Q的坐标为 ，

∴，

∵四点构成平行四边形，

∴

∴点的坐标分别为 ， ；

如图③中，构成平行四边形，作QM∥y轴交轴于点M，

∵四边形为平行四边形，

∴， ，

∴，

∴，，

∴点的坐标为 ，

∴

∴，

∴点的坐标为 ，

综上，符合条件点的坐标有： ， ，；