如图.直角△ABC中.∠A为直角.AB=6.AC=8．点P.Q.R分别在AB.BC.CA边上同时开始作匀速运动.2秒后三个点同时停止运动.点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动.点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动.点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动.在运动过程中:(1)求证:△APR.△BPQ.△CQR的面积相等,(2)求△PQR面积的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：
（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；
（2）求△PQR面积的最小值；
（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2-t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2-t），AR=4（2-t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S_△PQR=18（t-1）²+6，即可得出结论；
（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．

解答解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，sin∠C=$\frac{3}{4}$，
过点Q作QE⊥AB于E，
在Rt△BQE中，BQ=5t，
∴sin∠B=$\frac{QE}{BQ}$=$\frac{4}{5}$，
∴QE=4t，
过点Q作QD⊥AC于D，
在Rt△CDQ中，CQ=BC-BQ=10-5t，
∴QD=CQ•sin∠C=$\frac{3}{5}$（10-5t）=3（2-t），
由运动知，AP=3t，CR=4t，
∴BP=AB-AP=6-3t=3（2-t），AR=AC-CR=8-4t=4（2-t），
∴S_△APR=$\frac{1}{2}$AP•AR=$\frac{1}{2}$×3t×4（2-t）=6t（2-t），
S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•QE=$\frac{1}{2}$×3（2-t）×4t=6t（2-t），
S_△CQR=$\frac{1}{2}$CR•QD=$\frac{1}{2}$×4t×3（2-t）=6t（2-t），
∴S_△APR=S_△BPQ=S_△CQR，
∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；

（2）由（1）知，S_△APR=S_△BPQ=S_△CQR=6t（2-t），
∵AB=6，AC=8，
∴S_△PQR=S_△ABC-（S_△APR+S_△BPQ+S_△CQR）
=$\frac{1}{2}$×6×8-3×6t（2-t）=24-18（2t-t²）=18（t-1）²+6，
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，S_△PQR最小=6；

（3）存在，由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，∠PQR=90°，

由（1）知，QE=4t，QD=3（2-t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2-t），
∴BP=AB-AP=6-3t=3（2-t），AR=AC-CR=8-4t=4（2-t），
过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，
∴四边形APQD是矩形，
∴AE=DQ=3（2-t），AD=QE=4t，
∴DR=|AD-AR|=|4t-4（2-t）|=4|2t-2|，PE=|AP-AE|=|3t-3（2-t）|=3|2t-2|
∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，
∴∠DQR=∠EQP，
∴tan∠DQR=tan∠EQP，
在Rt△DQR中，tan∠DQR=$\frac{DR}{DQ}$=$\frac{4|2t-2|}{3（2-t）}$，
在Rt△EQP中，tan∠EQP=$\frac{PE}{QE}$=$\frac{3|2t-2|}{4t}$，
∴$\frac{4|2t-2|}{3（2-t）}=\frac{3|2t-2|}{4t}$，
∴16t=9（2-t），
∴t=$\frac{18}{25}$．
即：t=1或$\frac{18}{25}$秒时，∠PQR=90°．