题目内容

如图，已知y=
1
2
x2+px+q（q≠0）与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA精英家教网=BO，BC∥x轴．
（1）求p和q的值；
（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点（点E在点D的右上方），DE=
2
，过D作y轴的平行线，交抛物线于F．
①设点D的横坐标为t，△EDF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
②又过点E作y轴的平行线，交抛物线于G，试问能不能适当选择点D的位置，使四边形DFGE是平行四边形？如果能，求出此时点D的坐标；如果不能，请说明理由．
分析：（1）由题意得C（0，q），又由BC∥x轴，且点B在直线y=x上，可求得点B的坐标，由OA=BO知，点A、B关于原点对称，求得点A的坐标，然后代入函数解析式，即可求得p和q的值与此二次函数的解析式；
（2）①由点D直线x=t和y=x上，可求得点D的坐标，而点F在直线x=t上，又在抛物线y=
1
2
x2+x-2上，即可得点F的坐标，然后过点E作EH⊥DF的延长线于H，由DE=
2
可知，EH=1，S=
1
2
DF•EH，即可求得答案；
②易知E（t+1，t+1），而点G在直线x=t+1上，又在抛物线y=
1
2
x2+x-2上，即可知点G的坐标与EG的长，若四边形DFGE是平行四边形，则EG=DF，即可求得t的值，则可得满足条件的点D存在，其坐标为（-
1
2
，-
1
2
）．
解答：解：（1）由题意得C（0，q），
∵BC∥x轴，且点B在直线y=x上，
由y=
1
2
x2+px+q，可知，点B的坐标为（q，q），
由OA=BO知，点A、B关于原点对称，
∴点A的坐标为（-q，-q），
∴
1
2
q2+pq+q=q
1
2
(-q)2+p(-q)+q=-q
，
解得：p=1，q=-2，
∴抛物线的解析式为：y=
1
2
x2+x-2；

（2）①∵点D直线x=t和y=x上，
由（1）可知道点D的坐标为（t，t），
而点F在直线x=t上，又在抛物线y=
1
2
x2+x-2上，
∴点F的坐标为（t，
1
2
t2+t-2），
过点E作EH⊥DF的延长线于H，由DE=
2
可知，EH=1，
DF=t-（
1
2
t2+t-2）=-
1
2
t2+2，
∴S=
1
2
DF•EH=
1
2
（-
1
2
t2+2）×1=-
1
4
t2+1．
解方程组：
y=
1
2
x2+x-2
y=x
，
解得：
x1=2
y1=2
，
x2=-2
y2=-2

∴点A（2，2），B（-2，-2），
∴t的取值范围为-2＜t＜1，且当t=0时，S有最大值1．
②易知E（t+1，t+1），而点G在直线x=t+1上，又在抛物线y=
1
2
x2+x-2上，
可知点G的坐标为（t+1，
1
2
（t+1）2+（t+1）-2），
∴EG=（t+1）-[
1
2
（t+1）2+（t+1）-2]=-
1
2
t2-t-
3
2
，
若四边形DFGE是平行四边形，则EG=DF，即-
1
2
t2-t-
3
2
=-
1
2
t2+2，
解得：t=-
1
2
．
∴满足条件的点D存在，其坐标为（-
1
2
，-
1
2
）．
点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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m
x
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1
2
x+
5
2
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1
2
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12
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．
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10
10
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1
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1
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x+
1
2
y
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1
2
1
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