Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线AC，BD的交点，函数y=

3

x

的图象经过A，E两点，则△OAE的面积为

9

4

．

Answer 1

分析：首先过E作EF⊥x轴，设E点纵坐标为m，根据正方形的性质和函数y=

3

x

的图象经过A，E两点，可得到E（

3

m

，m），A（

3

2m

，2m），再根据EF是BC的中垂线可得BF=EF，进而得到

3

m

-

3

2m

=m，再算出m的值，然后根据图象可得S_△OAE=S_梯形ABFE+S_△AOB-S_△EOF把相应数值代入即可算出结果．

解答：解：过E作EF⊥x轴．
设E点纵坐标为m，
∵E点在函数y=

3

x

的图象上，
∴E点横坐标为

3

m

，
∴E（

3

m

，m），
∵点E是对角线AC，BD的交点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2m，
∵A点在函数y=

3

x

的图象上，
∴A点横坐标为

3

2m

，
∴A（

3

2m

，2m），
∵EF是BC的中垂线，
∴BF=EF，
∴

3

m

-

3

2m

=m，
解得：m=

6

2

或-

6

2

，
∵图象在第一象限，
∴m=

6

2

，
S_△OAE=S_梯形ABFE+S_△AOB-S_△EOF=

1

2

×（m+2m）×m+

1

2

×3-

1

2

×3=

1

2

×3m²=

3

2

m²=

3

2

×

6

4

=

9

4

．
故答案为：

9

4

．

点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用，关键是根据正方形的性质表示出A，E两点坐标，进而算出E点纵坐标，然后根据S_△OAE=S_梯形ABFE+S_△AOB-S_△EOF即可算出结果．