Question

17．如图所示，在等腰三角形ABC中．底边BC上有任意一点P，则点P到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若点P在BC的延长线上，那么PD，PE和CF存在什么等式关系？写出你的猜想并加以证明．（提示：有三个角等于90°的四边形是长方形．）

Answer 1

分析 先过点C作CG⊥PD于G，构造矩形CFDG，得出CF=DG，再判定△PCG≌△PCE（AAS），得出PG=PE，进而得到PD=DG+PG=CF+PE．

解答 解：PD=CF+PE．
证明：如图所示，过点C作CG⊥PD于G，则∠CGD=90°，
∵CF⊥AB，PD⊥AB，
∴∠CFD=∠GDF=90°，
∴四边形CFDG是长方形，
∴CF=DG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵CG∥AB，
∴∠PCG=∠B，
又∵∠ACB=∠PCE，
∴∠PCG=∠PCE，
∵PE⊥AE，
∴∠PGC=∠E=90°，
在△PCG和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGC=∠E}\\{∠PCG=∠PCE}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△PCE（AAS），
∴PG=PE，
∴PD=DG+PG=CF+PE．

点评 本题主要考查了矩形的判定与全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造矩形和全等三角形，根据矩形对边相等以及全等三角形对应边相等计算推导．