Question

已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．
（1）求EM的长；
（2）求sin∠EOB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长即可；
（2）由（1）中所求EM的长判断出△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sin∠EOB的值．
解答：解：如图，（1）∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC（1分）
∵DC=8，DE=
∴EC=
==7（2分）
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6，
由相交弦定理AM•MB=EM•CM，（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解这个方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4；（5分）

（2）∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1
∴EF===
∴sin∠EOB=．（8分）
点评：本题考查的是圆周角定理及等腰三角形的性质，属中学阶段的基本内容．