题目内容


如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连接BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交AD边于点M，且使得∠ABE=∠CBP，

如果AB=2，BC=5，AP= x，PM=y.

(1) 说明△ABM∽△APB；并求出y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；

(2) 当AP=4时，求sin∠EBP的值；

(3) 如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长。

 



(1)由△ABM∽△APB，得=，∴=，∴y=x﹣．(3分)

∵P是边AD上的一动点，  ∴0≤x≤5．

∵y＞0， ∴x﹣＞0， ∴x＞2， ∴x的取值范围为2＜x≤5；(4分)

(2)过点M作MH⊥BP于H，如图．

∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，

∴MP=3，AM=1，

∴BM==，BP==2．

∵S△BMP=MP•AB=BP•MH， ∴MH==，   ∴sin∠EBP=(8分)

 (3)①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．

可证△AMB≌△DPC，∴AM=DP，∴x﹣y=5﹣x，

∴y=2x﹣5，∴x﹣=2x﹣5， 解得：x1=1，x2=4．

∵2＜x≤5，   ∴AP=x=4；(10分)

②若CE=CB，则∠EBC=∠E．

∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E， ∴PE=PM=y，

∴PC=EC﹣EP=5﹣y，

∴在Rt△DPC中，(5﹣y)2﹣(5﹣x)2=22，     ∴3x2﹣10x﹣4=0，

解得：x1=，x2=(舍去)．

∴AP=x=．

终上所述：AP的值为4或．(12分)


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