Question

15．阅读材料：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC、BD于点E、F，显然四边形OEMF是平行四边形．
探究发现：
（1）当对角线AC，BD满足AD⊥BD时，四边形OEMF是矩形．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程．
拓展延伸：
（3）如图3，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（4）如图4，若四边形ABCD为菱形，且AC：BD=k，请直接写出OA、ME、MF三条线段之间的数量关系（不需要证明）．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定证得四边形OEMF是平行四边形，由AD⊥BD，由矩形的判定可证得结论；
（2）首先证得四边形OEMF是平行四边形，然后利用菱形的对角线互相垂直证得∠EOF=90°，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形证得结论；
（3）根据四边形OEMF是平行四边形，得到OE=MF，根据四边形ABCD是矩形，得到OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AD，且AC=BD，从而得到OB=OC，进一步得到BE=ME，从而证得结论OB=BE-OE=ME-MF；
（4）由相似三角形的判定证得△AOB∽△MFB，根据相似三角形的性质可证得$\frac{AO}{BO}=\frac{MF}{BF}$，于是得到AO=kBO，MF=kBF，代入即可得到结论．

解答 解：（1）当AD⊥BD时，四边形OEMF是矩形，
理由：∵ME∥BD，MF∥AC，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵AD⊥BD，
∴四边形OEMF是矩形，
故答案为：AD⊥BD；

（2）是矩形，
理由：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠EOF=90°，
∴四边形OEMF是矩形；

（3）结论：OB=ME-MF．
理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF 是平行四边形，
∴OE=MF，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AD，且AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB，
∴BE=ME，
∴OB=BE-OE=ME-MF；

（4）OA+MF=kME，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC=2AO，BD=2BO，
由（2）知，四边形OEMF是矩形，
∴∠EOB=∠F=90°，ME=OF，
∵∠ABO=∠MBF，
∴△AOB∽△MFB，
∴$\frac{AO}{MF}=\frac{BO}{BF}$，
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{MF}{BF}$，
AC：BD=k，
∴$\frac{AO}{BO}$=k，
∴$\frac{MF}{BF}$=k，
∴MF=kBF，
∵kME=k（OB+BF）=kOB+kBF=AO+MF，
即OA+MF=kME．

点评 本题考查了矩形的性质及判断、菱形的性质、平行四边形的性质及判定，相似三角形的判定和性质，涉及的知识点比较多，解本题的关键是熟练特殊四边形的性质和判定，本题的疑点是特殊四边形的性质和判定的区别．