题目内容

函数y=
4
x
和y=
1
x
在第一象限内的图象如图，点P是y=
4
x
的图象上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，PC交y=
1
x
的图象于点A．过点P作PD⊥y轴于点D，PD交y=
1
x
的图象于点B，连接OA、OB．给出如下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=
1
3
AP．
其中正确结论的个数是（　　）
分析：由于A、B是反比函数y=
1
x
上的点，可得出S△OBD=S△OAC=
1
2
，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
解答：解：∵A、B是反比函数y=
1
x
上的点，
∴S△OBD=S△OAC=
1
2
，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是y=
4
x
的图象上一动点，
∴S矩形PDOC=4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB--S△OAC=4-
1
2
-
1
2
=3，故③正确；
连接OP，
S△POC
S△AOC
=
PC
AC
=
2
1
2
=4，
∴AC=
1
4
PC，PA=
3
4
PC，
∴
PA
PC
=3，
∴AC=
1
3
AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
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精英家教网函数y=
4
x
和y=
1
x
在第一象限内的图象如图，点P是y=
4
x
的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=
1
x
的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=
1
3
AP．其中所有正确结论的序号是
 
．
（2013•海门市二模）如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数y=-
4
x
和y=
2
x
于A、B两点，则三角形ABC的面积等于（　　）
（2013•眉山模拟）函数y=
4
x
和y=
1
x
在第一象限内的图象如图，点P是y=
4
x
的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=
1
x
的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=
1
3
AP．其中所有正确结论的序号是（　　）
（2013•莆田模拟）函数y=
4
x
和y=
1
x
在第一象限内的图象如图，点P是y=
4
x
的图象上一动点，PC⊥x轴于C，交y=
1
x
的图象于点A，PD⊥y轴于D，交y=
1
x
的图象于点B．
给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④
PA
AC
=
PB
BD
．
其中所有正确结论的序号是
①③④
①③④
．
已知正比例函数y=4x和一个一次函数的图象相交于点A（1，m），且一次函数的图象与x轴交于点B（3，0）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出这两个函数的图象．

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