Question

如图：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与y轴的交点为D，与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）求a，b的值；　
（2）写出顶点C的坐标为______；
（3）计算四边形ACDO的面积；
（4）在y轴上是否存在点F，使得△ACF是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3，
，
解得：，
故a=-1，b=-2，

（2）∵a=-1，b=-2，
∴y=-x²-2x+3，
=-（x+1） ²+4，
故顶点C的坐标为（-1，4）；
故答案为：（-1，4）；

（3）如图1所示：∵y=-x²-2x+3，
当x=0，得出y=3，
∴D点坐标为：（0，3），
∵C的坐标为（-1，4），A（-3，0），
∴AH=2，CH=4，HO=1，OD=3，
∴S_{四边形ACDO}=S_△ACH+S_{四边形CHOD}=×2×4+（3+4）×1=；

（4）如图2，假设在y轴上存在满足条件的点F，过点C作CE⊥y轴于点E，
由∠CFA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠FOA=90°，
∴△CEF∽△FOA，∴=，
设F（0，c），则=．
变形得c²-4c+3=0，
解得：c₁=3，c₂=1．
综合上述：在y轴上存在点F（0，3）或（0，1），使△ACF是以AC为斜边的直角三角形．
分析：（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可；
（2）利用配方法求出顶点坐标即可；
（3）根据A，C，D的坐标求出AH，HO，DO的长度，进而求出四边形ACDO的面积即可；
（4）首先证明△CEF∽△FOA，得出y轴上存在点F（0，3）或（0，1），即可得出△ACF是以AC为斜边的直角三角形．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．