Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，CD=5，则⊙O的半径

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：压轴题

分析：根据勾股定理列式求出AD、AC，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACE=90°，然后求出△ABD和△AEC相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AE的值，从而得到圆的半径．

解答：解：∵AD⊥BC于D，AB=15，BD=9，
∴在Rt△ABD中，AD=

AB2-BD2

=

152-92

=12，
∵CD=5，
∴在Rt△ACD中，AC=

AD2+CD2

=

122+52

=13，
如图，连接AO并延长交⊙O于E，连接CE，
则∠B=∠E，∠ACE=90°，
∴∠ADB=∠ACE，
∴△ABD∽△AEC，
∴

AB

AE

=

AD

AC

，
即

15

AE

=

12

13

，
解得AE=

65

4

，
∴⊙O的半径为

1

2

AE=

1

2

×

65

4

=

65

8

．
故答案为：

65

8

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角的性质，作以直径为斜边的相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．