Question

在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中，证明：CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），求证：∠BDG=45°．

Answer 1

分析：（1）根据矩形性质得出对边平行．推出∠F=∠CEF=∠AEB=∠BAE，根据等腰三角形判定推出即可；
（2）连接BG、CG，证△BEG≌△DCG，推出BG=DG，∠BGE=∠DGC，得出等腰直角三角形DGB，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，∠F=∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠F=∠AEB，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠F=∠CEF，
∴CE=CF．

（2）连接BG、CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∵∠BAE=∠AEB，
∴∠AEB=45°，AB=BE=DC，
∴∠BEG=135°，
∵∠ECF=∠BCD=90°，G为EF中点，CE=CF，
∴CG=EG=FG，CG⊥EF，∠GCE=∠GCF=45°，
∴∠DCG=90°+45°=135°，
∴∠DCG=∠BEG，
在△BEG和△DCG中

BE=DC ∠BEG=∠DCG EG=CG

∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∵CG⊥EF，
∴∠CGE=90°=∠CGD+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠BGD，
∴∠GDB=∠DBG=45°．

点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质和判定，平行线性质的应用，注意：矩形的对边平行且相等．