Question

如图，已知反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点（

1

2

，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，则A，B，P三点的坐标分别是A

 

、B

 

、P

 

．
（3）连接OP、OQ，求△OPQ的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把点（

1

2

，8）代入反比例函数y=

k

x

，确定反比例函数的解析式为y=

4

x

；再把点Q（4，m）代入反比例函数的解析式得到Q的坐标，然后把Q的坐标代入直线y=-x+b，即可确定b的值；
（2）对于y=-x+5，令y=0，求出A点坐标；令x=0，得y=5，求出B点坐标；把反比例函数和直线的解析式联立起来，解方程组得到P点坐标；
（3）根据S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ进行计算即可．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象经过点（

1

2

，8），
∴k=

1

2

×8=4，
∴反比例函数的解析式为y=

4

x

；
又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，
∴4•m=4，
解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），
而直线y=-x+b经过点Q（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5，
∴直线的函数表达式为y=-x+5；

（2）∵y=-x+5，令
∴当y=0时，得x=5，即A点坐标为（5，0），
当x=0时，得y=5，即B点坐标为（0，5）．
联立

y=-x+5 y= 4 x

，解得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P点坐标为（1，4）；

（3）S_△OPQ=S_△AOB-S_△OBP-S_△OAQ
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．
故答案为（5，0），（0，5），（1，4）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及利用面积的和差求图形面积的方法．