Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC2＝ABAD．

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AF＝．

【解析】

（1）先根据角平分线得出∠CAD＝∠CAB，进而判断出△ADC∽△ACB，即可得出结论；

（2）先利用直角三角形的性质得出CE＝AE，进而得出∠ACE＝∠CAE，从而∠CAD＝∠ACE，即可得出结论；

（3）由（1）的结论求出AC，再求出CE＝3，最后由（2）的结论得出△CFE∽△AFD，即可得出结论．

解：（1）∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAB，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC2＝ADAB；

（2）在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，

∴CE＝AE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE＝∠CAE，

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAD＝∠CAE，

∴∠CAD＝∠ACE，

∴CE∥AE；

（3）由（1）知，AC2＝ADAB，

∵AD＝4，AB＝6，

∴AC2＝4×6＝24，

∴AC＝2，

在Rt△ABC中，∵E为AB的中点，

∴CE＝AB＝3，

由（2）知，CE∥AD，

∴△CFE∽△AFD，

∴，

∴，

∴AF＝．