Question

如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CG⊥AB于E，AD延长后交GC于F．
（1）求证：△AFC∽△ACD；
（2）若CD=2，AD=3，AC=4，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AG，利用垂径定理和圆的内接四边形定理证明∠ADC=∠ACF，再加公共角相等，即可证明△ACD∽△AFC；
（2）由（1）可得AC2=AD•AF，由已知数据先求出AF，进而求出FD的值，再通过证明△CFD∽△AFG，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出CF，FG的值，所以可以求出CG的值，利用等腰三角形的性质从而求出CE的值．

解答：解：连接AG，
∵AB为圆O直径，AB⊥CG，
∴CE=GE，
∴AC=AG，∠2=∠3，
∵∠1=∠3（四边形的外角等于内对角），
∴∠1=∠2，
∴∠ADC=∠ACF（等角的补角相等），
又∵∠CAF=∠DAC，
∴△ACD∽△AFC；

（2）∵△ACD∽△AFC，
∴

AC

AF

=

AD

AC

，
∴AC²=AD•AF，
∵AD=3，AC=4，
∴AF=

16

3

∴FD=AF-AD=

16

3

-3=

7

3

，
又∵∠1=∠3，∠CFD=∠AFG，
∴△CFD∽△AFG，
∴

CD

AG

=

CF

AF

=

FD

FG

，
∵AG=AC=4，

2

4

=

CF

16 3

=

7 3

FG

，
解得：CF=

8

3

，FG=

14

3

，
∴CG=FG-CF=2，
而点E为CG中点
∴CE=1．

点评：本题考查了垂径定理、圆的内接四边形定理、相似三角形的判定和相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，题目的综合性不小，难度中等．