Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＞0，②c＜0，③b²-4ac＞0，④a+b+c＞0，⑤4a+2b+c＞0．其中正确的有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：观察图象：根据二次函数图象与系数的关系由抛物线开口向下得a＜0；由抛物线的对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0；由抛物线与x轴有两个交点得到△＞0，即b²-4ac＞0；当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0；由对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）与（2，0）之间，则当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=-

b

2a

＞0，
∴b＞0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，即b²-4ac＞0，所以③正确；
当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以④正确；
∵对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）与（2，0）之间，
∴当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，所以⑤不正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＞0，抛物线的开口向上，在对称轴x=-

b

2a

的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴x=-

b

2a

的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，抛物线的开口向下，当x=-

b

2a

时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当△=b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．