Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD⊥AB，垂足为D．任意作∠EDF=60°，点E、F分别在边AC、BC上．设AE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出它的定义域；
（2）当x为何值时，△BDF是等腰三角形？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）作FN⊥AB于N，在BA上取点M使MF=FB，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系易得AB=2AC=4，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得∠3=2∠B=60°，在Rt△ACD中可计算出AD=

1

2

AC=1；在Rt△BFN中可计算得FN=

1

2

BF=

1

2

y，BN=

3

FN=

3

2

y；在Rt△FNM中可计算出MN=

3

3

FN=

3

6

y，FM=2MN=

3

3

y，则DM=AB-AD-MB=3-

3

3

y，由于∠EDF=60°，则∠1+∠ADE=120°，加上∠1+∠ADE=120°，所以∠1=∠2，根据三角形相似的判定得到△DFM∽△EDA，利用相似比得

3 3 y

1

=

3- 3 3 y

x

，整理得y=

3 3

x+1

（

1

2

≤x≤2）；
（2）分类讨论：当FD=FB时，根据等腰三角形的性质得BN=

1

2

BD，即

3

2

y=

1

2

•3，解得y=

3

，然后把y=

3

代入y=

3 3

x+1

可计算出对应的x的值；当BF=BD=3，则把y=3代入y=

3 3

x+1

可计算出对应的x的值．

解答：解：（1）作FN⊥AB于N，在BA上取点M使MF=FB，如图，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4，∠3=2∠B=60°，
在Rt△ACD中，AD=

1

2

AC=1，
在Rt△BFN中，FN=

1

2

BF=

1

2

y，BN=

3

FN=

3

2

y，
在Rt△FNM中，MN=

3

3

FN=

3

6

y，FM=2MN=

3

3

y，
∴DM=AB-AD-MB=4-1-

3

3

y=3-

3

3

y，
∵∠EDF=60°，
∴∠1+∠ADE=120°，
∵∠1+∠ADE=120°，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠A，
∴△DFM∽△EDA，
∴

FM

AD

=

DM

AE

，即

3 3 y

1

=

3- 3 3 y

x

，
∴y=

3 3

x+1

（

1

2

≤x≤2）；
（2）当FD=FB时，则BN=DN，
∴BN=

1

2

BD，即

3

2

y=

1

2

•3，解得y=

3

，
把y=

3

代入y=

3 3

x+1

得

3 3

x+1

=

3

，解得x=2；
当BF=BD时，即y=3，
把y=3代入y=

3 3

x+1

得

3 3

x+1

=3，解得x=

3

-1，
∴当

3

-1或2时，△BDF是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．