Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值．

Answer 1

分析：（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线．
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．

解答：（1）证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC（2分）
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB（4分）
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线（6分）

（2）解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴

FO

FA

=

OD

AE

（8分）
∴

FC+OC

FC+AC

=

OD

AB-BE

∴

FC+2

FC+4

=

2

4-1

解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=

AE

AF

=

AB-BE

AF

=

4-1

6

=

1

2

．（10分）

点评：本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．并且本题还考查了三角函数的定义．