Question

18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BOC=2∠BAD，则⊙O的直径为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 10
• D． 3

Answer 1

分析 连结OD，先根据三角形外角性质得∠BOD=2∠A，而∠BOC=2∠BAD，所以∠BOC=∠BOD，根据等腰三角形的性质得OB⊥CD，则根据垂径定理得到CE=$\frac{1}{2}$CD=4，设⊙O的半径为R，则OE=AE-OA=8-R，在Rt△OCE中，根据勾股定理得R²=（8-R）²+4²，解得R=5，故可得出结论．

解答 解：连结OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠BOD=∠A+∠ODA=2∠A，
∵∠BOC=2∠BAD，
∴∠BOC=∠BOD，
而OC=OD，
∴OB⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×8=4，
设⊙O的半径为R，则OE=AE-OA=8-R，
在Rt△OCE中，
∵OC²=OE²+CE²，
∴R²=（8-R）²+4²，解得R=5，即设⊙O的半径为5，
∴⊙O的直径为10．
故选C．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．