Question

10．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若∠P=∠PFD-∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求$\frac{∠AEG}{∠PFD}$的值．

Answer 1

分析 （1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代换就可得证；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠P=∠BGP-∠BEP，再由∠P=∠PGB-∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出结论；
（3）由（1）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，设设∠PFD=x，则∠BEP=90°-x，根据∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定义表示出∠AEG，即可求出所求比值．

解答 解：（1）过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；

（2）∵∠BGP是△PEG的外角，
∴∠P=∠BGP-∠BEP．
∵∠P=∠PGB-∠BEP，
∴∠PFD=∠PGB，
∴AB∥CD；

（3）由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
设∠PFD=x，则∠BEP=90°-x，
∵∠PEG=∠BEP=90°-x，
∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，则$\frac{∠AEG}{∠PFD}$=$\frac{2x}{x}$=2

点评 本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质、三角形外角的性质是解答此题的关键．