Question

如图BC是半圆⊙O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：AC•BC=2•BD•CD；
（2）P是BD的中点，过P作PQ∥AB交OA于点Q，若AE=3，CD=，求PQ的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD交AC于H，
∵D是弧AC的中点，
∴=，
∴∠ACD=∠DBC，
∵BC是圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵弧AD=弧CD，OD是半径，
∴OD⊥AC，AC=2AH=2CH，
∴∠DHC=∠BDC=90°，
∵∠ACD=∠DBC，
∴△CDB∽△DHC，
∴=，
BD•CD=HC•BC，
∴2BD•CD=2HC•BC，
即AC•BC=2•BD•CD．

（2）解：∵弧AD=弧CD，
∴OD⊥AC，AC=2AH=2CH，
∴∠DHC=∠DHE=90°，∠DEH+∠EDH=90°，
∵∠EDH+∠CDH=90°，
∴∠DEH=∠CDH，
∴△DHE∽△CHD，
∴DH²=EH•AH，
设EH=x，AD²=DH²+AH²，
∴，
解得：x=1，DH=2，
设圆O的半径是R，
在△OAH中，由勾股定理得：R²=（R-2）²+（3+1）²，
解得：R=5，BC=10，OD=5，AC=2×4=8，
由勾股定理得：AB==6，
连接OP，延长OP交AB于M，
∵BC是圆O的直径，
∴∠B=90°，
∵OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∴==，
∵P为BD的中点，
∴BP=PD，
∴BM=OD=5，OP=PM，
∴PQ=AM=（AB-OD）=×（6-5）=，
答：PQ的长是．
分析：（1）连接OD交AC于H，根据垂径定理求出OD⊥AC，AC=2AH=2CH，证△CDB∽△DHC，推出BD•CD=HC•BC即可；
（2）设EH=x，AD²=DH²+AH²，证△DHE∽△CHD，推出DH²=EH•AH，得到方程，求出方程的解，求出DH、AH、AC、AB，连接OP，延长OP交AB于M，根据平行线分线段成比例定理得到
BM=OD=5，OP=PM，根据三角形的中位线定理求出即可．
点评：本题主要考查对平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．