Question

CD为Rt△ABC斜边上的高线，AC、BC为x²-5x+2=0的两根，则AD•BD的值等于

 

．

Answer 1

分析：先由根与系数的关系得出，AC•BD=2，再证明△ACD∽△CBD，则

AD

CD

=

CD

BD

，化为乘积式即可得出AD•BD=CD²，再根据三角形的面积得出CD即可．

解答：解：∵AC、BC为x²-5x+2=0的两根，
∴AC+BC=5，AC•BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=

(AC+BC)2-2AC•BC

=

21

，
∵∠A+∠ACDE=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
即AD•BD=CD²，
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

2

21

=

2  21

21

，
∴AD•BD=CD²=

4

21

，
故答案为

4

21

．

点评：本题考查了根与系数的关系、相似三角形的判定和性质，直角三角形的面积公式．