Question

已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h（如图）．求证：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

Answer 1

分析：将左边通分后用c²代替a²+b²，再根据等面积的不同表示形式可得出

1

2

ab=

1

2

ch即ab=ch，将h代入右边可得出结论．

解答：证明：左边=

1

a2

+

1

b2

=

a2+b2

a2b2

∵在直角三角形中，a²+b²=c²，
又∵

1

2

ab=

1

2

ch即ab=ch
∴

a2+b2

a2b2

=

c2

c2h2

=

1

h2

=右边
即证得：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

点评：本题考查勾股定理及三角形的面积，属于中等难度的试题，解答此类题目的方法就是两边凑，从而最终得出要证的结论．