Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠B=60°，∠C=30°，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，BE=

3

，Rt△ABE沿BC方向匀速运动，平移速度为每秒1个单位，当点E与点C重合时停止运动，在整个平移过程中，设△ABE与直角梯形ADCE重叠部分的面积为S，设运动时间为t秒．
（1）直接写出当点E与点C重合时t的值；
（2）求S与t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
（3）点G为直线DF上一动点，当△ABE平移到点A与点D重合时，将△BDG绕点D逆时针旋转60°，得到△B′DG′（B的对应点为B′，G的对应点为G′），△BGG′的面积能否等于

3

4

？若能，请求CG′的长度，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件运用勾股定理和三角函数值求出CE的值，就可以求出t的值；
（2）分四种情况运用三角形的面积公式和梯形的面积公式就可以求出结论；
（3）根据旋转的性质和等边三角形的性质，运用三角形的面积公式建立方程，根据方程解的额情况就可以求出结论．

解答：解：（1）如图1，∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
∴AE∥DF，∠AEB=∠AEC=∠DFB=∠DFC=90°．
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF，AD=EF．
∵∠B=60°，∠C=30°，
∴∠BAE=30°，∠FDC=60°．
∵BE=

3

，
在Rt△ABE中由勾股定理，得
AE=3，AB=2

3

，
∴DF=3
∵AB=AD，
∴AD=EF=2

3

．
在Rt△DFC中，由勾股定理得：
CF=3

3

，CD=6，t=5

3

÷1=5

3

．

（2）如图1，当0＜t≤

3

时，
EE₁=t，B₁E=

3

-t，GE=3-

3

t，
∴S=

(3- 3 t+3)t

2

=

6t- 3 t2

2

；
如图1，当

3

＜t≤2

3

时，
S=

3 ×3

2

=

3 3

2

；
如图2，当2

3

＜t≤3

3

时，
E₃F=t-2

3

，B₃F=3

3

-t，
∴FH=9-

3

t，E₃C=5

3

-t，
∴E₃S=

15- 3 t

3

，DH=3-9+

3

t=

3

t-6，
∴DR=

3

2

t-3
∴RH=

3

2

t-3

3

，
S=

( 15- 3 t 3 +3)(t-2 3 )

2

-

( 3 2 t-3)( 3 2 t-3 3 )

2

+

1

2

（3

3

-t）（9-

3

t），
S=

7 3

8

t²+

1

2

t+

27 3 -25

2

；
如图3，当3

3

＜t＜5

3

时，
E₄C=5

3

-t，E₄Q=

15- 3 t

3

，
∴A₄Q=

3 t-6

3

，
∴PQ=

3 t-6

6

，
∴A₄P=

t-2 3

2

，
∴S=

3 3

2

-

t-2 3 2 × 3 t-6 6

2

，
S=

- 3 t2+12t+24 3

24

．
综上所述：S=

6t- 3 t2 2 (0＜t≤ 3 ) 3 3 2 ( 3 ＜t≤2 3 ) 7 3 8 t2+ 1 2 t+ 27 3 -25 2 (2 3 ＜t≤3 3 ) - 3 t2+12t+24 3 24 (3 3 ＜t＜5 3 )

．

（3）∵∠BAE=30°，∠FDC=60°，
∴∠BDG=30°．
∴∠BDG′=90°．
∵△DB′G′是由△DBG旋转60°得到的，
∴∠GDG′=60°，DG=DG′
∴∠GDG′与∠FDC重合，△DGG′为等边三角形
∴DG=GG′=DG′．
设DG=x，则DG′=x，CG′=6-x，
∴S_△DGG′=

3

4

x²，S_△DGB=

3 x

2

．
∵∠BDG′=90°，
∴△BDG′是直角三角形，
∴S_△BDG′=

3

x．
∴

3

x-

3

4

x²-

3 x

2

=

3

4

，
解得：x₁=x₂=1，
∴CG′=6-1=5
如图5，当点G在FD的延长线上时，
S_△G′DB+S_△G′GD-S_△GDB=

3

4

，
∴

3

x+

3

4

x²-

3 x

2

=

3

4

，
x₁=-1-

2

（舍去），x₂=-1+

2

，
∴CG′=6+（-1+

2

）=5+

2

；
如图6，当点G在DF的延长线上时，
S_△BGD+S_△DGG′-S_△BDG′=

3

4

，

3

2

x+

3

4

x2-

3

x=

3

4

，
解得：x₁=1+

2

，x₂=1-

2

（舍去），
∵DG＞DF＞3，
∴x₁=1+

2

（舍去）．

答：CG′的长度为5或5+

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，梯形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，旋转的性质的运用和等边三角形的性质的运用．解答时灵活运用直角三角形的性质是关键．