题目内容

已知直线l₁： $数学公式$ 与直线l₂： $数学公式$ 相交于点B（ $数学公式$ ，2），且直线l₂与x轴相交于点A．
（1）求A点的坐标；
（2）点C在线段AB上，过C点作CD∥OB，交x轴于D点，已知以线段CD为直径的⊙M与直线l₁相切．
①求⊙M的半径r；
②若把△OAB绕着原点O逆时针旋转90°得到△OA'B'，在y轴上是否存在一点P，使得⊙P与⊙M、以OA'为直径的⊙N都相切？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）依题意可知：
y=-2（2+ $\text{[math]}$ ）×2 $\text{[math]}$ +b，
解得：b=8+4 $\text{[math]}$ ；
∴直线l₂：y=-（2+ $\text{[math]}$ ）x+8+4 $\text{[math]}$ ．
由y=0得：0=-（2+ $\text{[math]}$ ）x+8+4 $\text{[math]}$ ，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①设点M到直线l₁的距离为d，过点A作AE⊥l₁于点E；
在Rt△AOE中，AE= $\text{[math]}$ ，OA=2，
∵CD∥l₁，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴d=2-r；
∵OM与l₁相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
设⊙P的半径为R，
根据两圆相切的性质可得：
（一）当⊙P与⊙M、⊙N都外切时，得：
（R+1）²=（2+ $\text{[math]}$ ）²+（R+ $\text{[math]}$ ）²，解得R=4+ $\text{[math]}$ ，

∴P₁（0，-4- $\text{[math]}$ ），
（二）当⊙N、⊙M都与⊙P内切时，得：
（R-1）²=（2+ $\text{[math]}$ ）²+（R- $\text{[math]}$ ）²，
解得R= $\text{[math]}$
∴P₂（0， $\text{[math]}$ ）；
综上所述，满足条件的P点的坐标为P₁（0，-4- $\text{[math]}$ ），P₂（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：本题先由两直线相交于点B，求出b值，进而求出点A的坐标．（2）问中要根据题意画出图形，按照直线与圆的几种位置关系列出关系式求解．
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．