Question

通过观察a²+b²-2ab=（a-b）²≥0可知：

a2+b2

2

≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，

a+b

2

≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：
（1）求证：当x＞0时，x+

1

x

≥2；
（2）求证：当x＞1时，x+

1

x-1

≥3；
（3）2x2+

1

x2+1

的最小值是______．

Answer 1

∵（

a

）²+（

b

）²-2

ab

=（

a

-

b

）²≥0，
即a+b-2

ab

≥0，
∴

a+b

2

≥

ab

；

（1）证明：∵x＞0，
∴x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
即x+

1

x

≥2；

（2）证明：∵x＞1，
∴x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=2+1=3，
即x+

1

x-1

≥3；

（3）2x²+

1

x2+1

=2（x²+1）+

1

x2+1

-2≥2

2(x2+1)• 1 x2+1

-2=2

2

-2，
∴2x²+

1

x2+1

的最小值为2

2

-2．
故答案为：

ab

，（4）2

2

-2．