题目内容

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边顺次为a、b、c，∠C=90°．若关于x的方程c（x²+1）- $数学公式$ bx-a（x²-1）=0的两根平方和为10，则 $数学公式$ 的值为________．

$\text{[math]}$
分析：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x₁，x₂，再根据两根平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．
解答：原方程整理为（c-a）x²- $\text{[math]}$ bx+（c+a）=0，
设x₁，x₂是方程的两个根，则x₁²+x₂²=10，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
把方程根公式代入，得
（ $\text{[math]}$ ）²-2× $\text{[math]}$ =10，即4b²-（c²-a²）=5（c-a）²，
由勾股定理得：c²-a²=b²，代入以上方程整理后有
3b²=5（c-a）²．
∵c是斜边，
∴c＞a，两边开平方，得
$\text{[math]}$ b+ $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ c，
两边同时平方得，
3b²+5a²+2 $\text{[math]}$ ab=5c²，
再次将勾股定理代入得，
3b²+5a²+2 $\text{[math]}$ ab=5a²+5b²，
2b²=2 $\text{[math]}$ ab，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了三角形的边角关系，根与系数关系，勾股定理的运用．关键是根据题意得出x₁²+x₂²=10，将等式变形，将根与系数关系代入，结合勾股定理求解．