Question

6．如图所示，直线y=kx+b分别交x轴、y轴于点A（1，0），B（0，-1），交双曲线y=$\frac{m}{x}$于点C，D，且AB=AC．
（1）求直线及双曲线的函数解析式；
（2）直接写出不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）如图，作CH⊥x轴于H．设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出k、b，利用△AOB∽△AHC，推出AH=OA=1，CH=OB=1，推出C（2，1），利用待定系数法即可求出m．
（2）根据一次函数的图象在反比例函数的图象上方，确定变量x的取值范围即可．

解答 解：（1）如图，作CH⊥x轴于H．设直线AB的解析式为y=kx+b，

把（A（1，0），B（0，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x-1．
在△AOB和△AHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠CAH}\\{∠AOB=∠AHC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB∽△AHC，
∴AH=OA=1，CH=OB=1，
∴C（2，1），
把C（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中，得到m=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∵C（2，1），
∴D（-1，-2），
由图象可知，不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集为-1＜x＜0或x＞2．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，学会根据图象，确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．