Question

【题目】如图，在中，，，．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，过点作交边或边于点，点是射线上的一点，且，以、为邻边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为（秒）．

（1）用含的代数式表示线段的长．

（2）当点落在上时，求的值．

（3）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求与之间的函数关系式．

（4）点与点同时出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度沿往返运动，连结、，当点停止时点也随之停止，直接写出矩形面积是面积的4倍时的值．

Answer 1

【答案】（1）当时，；当时，；（2）；（3）；（4）t的值为或．

【解析】

（1）分两种情况：D在AC和BC上，根据三角函数列式先求PD的长，可得结论；
（2）如图4，根据EF=2BE，列方程可得结论；
（3）存在两种情况，先求边界点时t的值，分别画图根据面积公式可得结论；
（4）分两种情况，根据矩形PEFD面积是△QEF面积的4倍列方程可得t的值．

解：（1）∵∠C=90°，AC=4，BC=2，

∴AB=，

如图2，当D与C重合时，CP⊥AB，

cos∠A=，

即，

AP=，

tan∠A=，

即，
∴PD=，
∴当0＜t≤时，如图1，PE=2PD=2×=，

如图3，AP=，

∴PB=，
tan∠DBP=，

即，
PD=，
当＜t≤2时，如图3，PE=2PD=2（）=；

（2）当点F落在BC上时，如图4，

BE=，EF=PD=，
∵EF=2BE，

∴=2×()，
∴t=（秒）；

（3）当0＜t≤时，如图1，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形是矩形PEFD，

S=PDPE=；

如图5，当E与B重合时，PB=2PD，

则，解得：t=1，

当1＜t≤时，如图6，

cos∠A=，

即，

∴AD=，

∴CD=，

∵DM∥，

∴∠CDM=∠A，
∴cos∠A=cos∠CDM=，

即，
∴DM=，
S=；
综上，S与t之间的函数关系式是：；

（4）①当0＜t≤1时，过Q作QH⊥AB于H，

∵AP=，BQ=2t，
∴PE=，PD=，BH=，
∴EH=BEBH=，
∵矩形PEFD面积是△QEF面积的4倍，
∴，
解得：t=0（舍）或；

②当1＜t≤2时，如图7，过Q作QH⊥AB于H，

∵PE=，PB=，
∴BE=PEPB=，
∵BQ+CQ=2t，
∴BQ=4-2t，
∴BH=，
∵矩形PEFD面积是△QEF面积的4倍，

∴，
t=0（舍）或；
综上，t的值是秒或秒．