Question

3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于O，OD⊥AB于D．若AC=3，BC=4，AB=5，则AD=2．

Answer 1

分析 根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．

解答 解：过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵∠A、∠B的平分线交于O，OD⊥AB于D，
∴OD=OE=OF，
∵∠C=90°，
∴四边形ECFO是正方形，
∴OE=OF=CE=CF，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•OD+$\frac{1}{2}$AC•OE+$\frac{1}{2}$BC•OF，
即$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$OE×（3+4+5），
解得：OE=1，
∴CE=OE=1，
∴AE=AC-CE=2，
在Rt△AEO与Rt△ADO中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=AO}\\{OE=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEO≌Rt△ADO，
∴AD=AE=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．