点E.F分别在平行四边形ABCD的边BC.AD上.BE=DF.点P在边AB上.AP:PB=1:n.过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1.S2的两部分.将△CDF分成面积为S3.S4的两部分.下列四个等式:①S1:S3=1:n②S1:S4=1:③(S1+S4):(S2+S3)=1:n④(S3-S1):(S2-S4)=n:(n+1)其中成立的有( )A．①②④B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S₁、S₂的两部分，将△CDF分成面积为S₃、S₄的两部分（如图），下列四个等式：
①S₁：S₃=1：n
②S₁：S₄=1：（2n+1）
③（S₁+S₄）：（S₂+S₃）=1：n
④（S₃-S₁）：（S₂-S₄）=n：（n+1）
其中成立的有（　　）

A．

①②④

B．

②③

C．

②③④

D．

③④

分析根据平行线的性质，相似三角形的性质可知$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}}$=（$\frac{1}{n+1}$）²，S₃=n²S₁，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{3}+{S}_{4}}$=（$\frac{n}{n+1}$）²，求出S₂，S₃，S₄（用S₁，n表示），即可解决问题．

解答解：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{1}+{S}_{2}}$=（$\frac{1}{n+1}$）²，S₃=n²S₁，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{3}+{S}_{4}}$=（$\frac{n}{n+1}$）²，
整理得：S₂=n（n+2）S₁，S₄=（2n+1）S₁，
∴S₁：S₄=1：（2n+1），故①错误，②正确，
∴（S₁+S₄）：（S₂+S₃）=[S₁+（2n+1）S₁]：[n（n+2）S₁+n²S₁]=1：n，故③正确，
∴（S₃-S₁）：（S₂-S₄）=[n²S₁-S₁]：[n（n+2）S₁-（2n+1）S₁]=1：1，故④错误，
故选B．