Question

【题目】已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于H，过A作AG⊥AC交CM于G．

（1）如图1，点G在CH的延长线上时，

①若∠GAB=36°，则∠MCD=______．

②猜想：∠GAB与∠MCD之间的数量关系是______．

（2）如图2，点G在CH上时，（1）②猜想的∠GAB与∠MCD之间的数量关系还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出∠GAB与∠MCD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①63°；②2∠MCD-∠GAB=90°；（2）2∠MCD+∠GAB=90°，理由见解析．

【解析】

（1）①依据AG⊥AC，∠GAB=36°，可得∠CAH的度数，依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠MCD的度数；
②设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，则∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系；
（2）设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，则∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，依据Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即可得出∠GAB与∠MCD之间的数量关系．

解：（1）①∵AG⊥AC，∠GAB=36°，

∴∠CAH=90°-36°=54°，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=180°-∠CAH=126°

∵CM是∠ACD的平分线，

∴∠MCD=∠ACD=63°，

故答案为：63°；

②∠GAB与∠MCD之间的数量关系是2∠MCD-∠GAB=90°；

理由：∵CM是∠ACD的平分线，

∴∠ACH=∠DCM，

∵AB∥CD，

∴∠AHC=∠DCM，

∴∠ACH=∠AHC，

设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，

则∠AGC=∠AHC-∠GAB=α-β，

∵GA⊥AC，

∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α-β=90°，

∴2α-β=90°，即2∠MCD-∠GAB=90°；

故答案为：2∠MCD-∠GAB=90°；

（2）上述∠GAB与∠MCD之间的数量关系不成立，应该为2∠MCD+∠GAB=90°，

理由：∵CM是∠ACD的平分线，

∴∠ACH=∠DCH，

∵AB∥CD，

∴∠AHC=∠DCH，

∴∠ACH=∠AHC，

设∠ACH=∠AHC=∠MCD=α，∠GAB=β，

则∠AGC=∠AHC+∠GAB=α+β，

∵GA⊥AC，

∴Rt△ACG中，∠ACH+∠AGC=90°，即α+α+β=90°，

∴2α+β=90°，即2∠MCD+∠GAB=90°